LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES H7 



« En efecto, sea m el grado de la ecuación, y 



el conjunto de los tres términos considerados. 



« Si se deriva m—p—% veces la ecuación, se tendrá para el con- 

 junto de estos tres términos, 



{m — /}) {m—p—\) . . . 3A;,íK^ 

 -j- (m— j9— 1) (m— /)— 2) . . . 2Ap^i x 

 + {m—p—2) (m—p—3) ... 1 Ap^a 



« Si se pasa á la ecuación cuyas raices son las recíprocas de las de 

 la última derivada, el grupo de los tres primeros términos de esta 

 ecuación será 



{7n—p—2) (m—p—S) ... 1 Ap+2 a;''"^' 

 + (m— p— 1) (m—p—2) ... 2 Ap+i af^^ 

 + (m— ;j) (m—p—l) 3Ap a;'' 



« Si se deriva de nuevo j9 veces, la ecuación se reducirá á 



(m-í)-2) (m-p— 3). . .1 (/)+2) (p+1). . .3 Ap^^x* 



+ (ín— p— 1)(m— p— 2)...2(/)+1) p 2Ap+,a; 



-f (m — p) (m — p—\) Sp {p — 1 ) i Ap=0, 



Ó, si se suprime el factor común 



2 (m — p — 2) ( m — p — 3) . . . 3/) (/) — 1) . . . 3, 



(p-\-2)(p-j-\)K^,x'^2{m-p-]) ■ 

 (p + í)Ap+iX -{- (m — p) (m — p — 1 ) Ap = O 



« Pero, si la ecuación propuesta tenia todas sus raices reales, su- 

 cedería lo mismo con todas las ecuaciones deducidas de ella, la úl- 

 tima tendría, entonces, sus raices reales; luego, tendremos 



(m— p-1) Íp + \) AVi > (m— p) (p-l-2) Ap Ap+s 



?n — p — 1 . m — p 



p + 2 ' p + 1 



P + l ^ J^ Q • ^ _L ,1 --^ Ap Ap + 2 > 



pero 



m — p — 1 m — p 



p + 2 '' p -{- ] 



son precisamente las fracciones que menciona la regla, y, si la de- 

 sigualdad no es satisfecha, la ecuación propuesta tiene al menos dos 

 raices imaginarias. 



