LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES 119 



En efecto, si se considera que ala izquierda del primer término y 

 á la derecha del último se escriben otros cuyos grados sean respec- 

 tivamente una unidad mayor y una menor que los de ellos ; que se 

 les pone por coeficiente cero, con lo cual no habremos alterado la 

 ecuación dada, y que se les aplica en seguida la desigualdad (a), cla- 

 ro está que el producto de los términos que vendrán á comprender 

 ahora á los que antes eran los extremos, será cero, y por consiguien- 

 te el signo que deba colocarse debajo de dichos términos extremos 

 de la ecuación propuesta será + • 



Tendremos entonces que el resultado de todas estas operaciones 

 será el siguiente : 



3 4 3 



8' 9' 8 



x' -\- 9x' -f 30a;^ -|- i2x -f- 20 



+ , 4-, +, +, + 



Así, en este ejemplo, para cualquiera de los grupos de tres tér- 

 minos consecutivos que se formen, la desigualdad (a) subsiste, lo 

 que nos indicará que la ecuación propuesta no tiene raices imagi- 

 narias, si es cierta la proposición inversa. Resolviendo esta ecuación 

 se verá que tiene dos raices imaginarias (3 + \/ — '1 ,3 — v'^í), 

 que comprueba lo que habíamos dicho mas antes; es decir, que 

 la proposición recíproca es falsa. 



Es evidente que esto no está en contradicción con lo que dice Ma- 

 rie : siempre que la desigualdad no exista habrá por lo menos un par 

 de raices imaginarias. 



Como hemos dicho, nuestro proceder anterior es en un lodo el 

 conjunto de las operaciones que es necesario efectuar para aplicar 

 la regla de Newton (1^), lo que haría creer, á primera vista, que del 

 resultado obtenido por Euler, de Gua y Mariese deduce inmediata- 

 mente dicha regla; pero se está aun muy distante de llegar á este 

 fin. Falta esplicar la razón por qué el número de variaciones de la 

 serie de signos, expresa, en muchos casos, el número de raices ima- 

 ginarias que tenga la ecuación ; ó lo que es lo mismo, falta com- 

 prender el criterio que ha llevado á Newton á semejante conclusión. 



¿Sería lógico suponer que una vez llegado en la demostración has- 

 ta la determinación de los signos, la combinación de ellos la hubiera 

 deducido por la simple inducción? Es esta una cuestión algo difícil 

 de interpretar. 



Tiene relación con este asunto por cuanto se refiere á la genera- 



