LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES 131 



un limite superior del número de raices reales negativas ; y el de las 

 variaciones de los signos inferiores dará un límite inferior del número 

 de raices imaginarias. 



Como se vé, esta regla es hasta ahora puramente empírica, y si 

 se la compara con la segunda, se observará una grandísima seme- 

 janza en la forma. Este hecho nos lleva á compararlas en el terreno 

 de la práctica, con el objeto de ver qué diferencia existe éntrelos re- 

 sultados previstos por cada una de ellas. 



Pero antes de toda aplicación veamos cómo se deduce la regla 

 segunda del teorema de Sylvester. 



Todhunter(^) dice : 



« Lo que sigue es el teorema del Profesor Sjlvester. 



« Sea la función f(x -\- X) ordenada según las potencias de x; si 

 se forma la serie de los elementos cuadrados, y al número de las 

 dobles permanencias se llama el número de las dobles permanencias 

 debidas á a, y se las designa por w (X). De la misma manera, al nú- 

 mero de las dobles permanencias para f(;x + ¡x) se llama el número 

 délas dobles permanencias, debidas á \j., y se las designa por ¿5 ([>.). 

 Si se supone ¡x mayor que X; entonces w (¡ji.) — w (X) es igual al número 

 de las raices de la ecuación /(¿c) = O comprendidas entre X y ¡x, ó 

 sobrepasa á este número por cualquier número entero par. 



«Antes de demostrar este teorema, mostraremos que incluye la 

 regla de Newton. 



« Si se pone O por \). j — « por X, tenemos w( — a) = O, porque 

 cuando X es — a, los elementos simples de /(a? -f- X) son alternativa- 

 mente positivos y negativos, y no puede haber, por consiguente, 

 dobles permanencias. 



« Asi w (0) = w (0) — w {—Oí). 



« Luego, por el teorema que antecede, w(0) es igual al número de 

 las raices de la ecuación f(x) =0 comprendidas entre — x y O, ó 

 sobrepasa á este número por cualquier entero par. Esto establece la 

 primera parte de la regla de Newton, de la cual se siguen las otras. » 



ESTUDIO COMPARATIVO DE LAS REGLAS SEGUNDA Y TERCERA 



Para comparar la regla segunda con la que acabamos de dar, que 

 la llamaremos tercera, apliquémosla á los mismos ejemplos que 

 esta. Tomaremos las ecuaciones ya consideradas. 



0) Obra cit. pág. 221. 



