138 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



dividiendo cada uno de los coeficientes Cj„ Cp^^, Cp^2 por el número 

 de productos diferentes que se pueden formar con in elementos, 

 haciendo entrar en cada producto, respectivamente, p. p ■}- i, 

 p -\- 2 elementos ; de suerte que se tendrá 



cp 1.2. 3... p 



ap= — ' 



(lp-hl = 



dp+Z = 



~1. 2. 3... (p4-2) 



Sustituyendo en (¡3), se tiene 



r 1.2.3...;>+1) "1^ 1.2.3...P 1.2.3...fp+2j 



de donde resulta, que, según que Ap^i sea positivo ó negativo, se 

 deberá ó nó verificar la desigualdad 

 r 1.2.3...fp+l) Y^, 1.2.3. ..P ^ 1.^.3... p+T, 



Sacamos de aquí : 



, 1.2.3...p+i:il.2.3...'>+l]mí>n— l)...(ffl-p+l)wím— l)...ím— p— 1) 

 *^ '^^ 1. 2.3...p. 1. 2. 3... (p+2) m (m-l;... 'm—p] m;m-l)... (m— p) "^ ^ ^^^^ 



que simplificado, dá 



p -\- I wz — [) — 1 

 p -\- 2 m — / 



ó lo que es lo mismo 



^"p+i Z, i o ' '^^ 7, -^ ^p ^p-^'^ ' 



m — p — i m — p . 



Comparando esta desigualdad con la (a), vemos que son perfec- 

 tamente idénticas. 



Pero la (a) es el resultado de un hecho de experiencia ; la (y) 

 es una consecuencia de una verdad matemática; luego, la certeza 

 de las conclusiones de esta se los apropia la i^egla tercera, con 

 la cual adquiere toda la autoridad de una verdad científica, que 

 es lo que nos proponíamos demostrar. 



La identidad de estas dos desigualdades nos dice, además, que 

 las dos reglas darán siempre el mismo resultado. 



