LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES 147 



Haremos finalmente una observación que tendremos mas tarde 

 oportunidad de emplearla : todos los cocientes son quebrados pro- 

 pios. En efecto, el cociente medio (6) es un quebrado propio, como 

 es fácil verlo, y como los demás se deducen de él restando de sus 

 dos términos una misma cantidad, serán, con mayor razón, tam- 

 bién quebrados propios. 



Lo mismo sucede en el caso que m sea impar. 



El valor de estos quebrados oscila entre un cuarto, para las 

 ecuaciones de 2° grado, y uno, cuyo valor lo alcanza para los de 

 grado infinito. 



Teniendo en cuenta esta observación, haremos notar otra ven- 

 taja práctica de la regla tercera. Como al formar los elementos 

 definitivos lo único que interesa saber es sus signos, será cosa 

 sencilla apercibir á primera vista cuales deben ser estos. En efecto, 

 bastará comparar mentalmente por apreciaciones extremadamente 

 rápidas, si la mitad, como primera aproximación, del cuadrado 

 del coeficiente correspondiente al elemento que se quiere formar, 

 es ó no mayor que el producto de los cocientes de orden anterior 

 y posterior. 



Esto que es poco preciso, ahorrará, sin embargo, al calculador 

 muchas operaciones. 



Queda asi terminado el estudio comparativo que nos propu- 

 simos hacer, y según creemos, bien patentizada la superioridad 

 práctica de la regla tercera, sobre la que por falta de conoci- 

 mientos históricos se atribuve á Newton. 



ESTUDIO COMPARATIVO DE LAS REGLAS DE DESCARTES Y TERCERA 



Como hemos tenido oportunidad de notarlo, tomando las reglas 

 de Descartes y de Newton tales como fueron dadas por sus autores, 

 no podríamos establecer ninguna comparación entre ellas, porque 

 la de Descartes se refiere únicamente á las raices reales, y la de 

 Newton á las raices imaginarias; sin embargo, por unas breves 

 consideraciones, veremos como vamos á hacer un estudio compa- 

 rativo. 



El teorema de Descartes, con el enunciado que le dio su autor, 

 hemos visto que era algo incompleto, y que ha sido modificado 

 de manera á comprender las ecuaciones incompletas en el caso de 



