LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES 14f9 



variaciones que no se correspondan con ima permanencia de la 

 serie de los signos inferiores; luego, este límite será menor que 

 aquel, escepto en las ecuaciones en que los signos de la serie in- 

 ferior sean todos positivos, porque entonces á cada variación su- 

 perior corresponderá una permanencia inferior. 



Para las raices negativas, un límite superior dado por la de 

 Descartes, es el número de variaciones que presente la transfor- 

 mada en — X, ó el de permanencias de la propuesta; al paso que 

 por la regla tercera deberá disminuirse de este número el de las 

 permanencias que no vengan acompañadas por permanencias in- 

 feriores; de modo que este último límite será menor que el pri- 

 mero, menos en el caso que la serie inferior sea compuesta única- 

 mente de signos -\-. 



Este resultado se puede resumir en la fórmula siguiente: 



en la que V representa el número total de variaciones y de per- 

 manencias de la propuesta, ó de variaciones de la propuesta y 

 de la trasformada en — x\ v. p y d. p representan, respectiva- 

 mente, las variaciones-permanencias y las dobles permanencias. 

 Haremos aplicación á dos ejemplos, para satisfacer la espresion 

 anterior en cada uno de los signos >> é = . 



1°. — Sea la ecuación 



a;6 ^ 3^5 __ 2x' -\- 'Ux^ — mx~ 4- i^x — \ 50 := O 



La aplicación de la regia de Descartes, nos dá cinco como límite 

 superior del número de raices reales positivas; y uno como límite 

 superior del de las raices reales negativas. 



La regla tercera dará 



gfi _[_ 3í»5 _ 2a,4 ^ 24í»^' — 65c»~ -f 45a? — \ 50 



+ , +, '-, +, +, -, + 



que nos indica que la ecuación propuesta tendrá á lo mas una raiz 

 real positiva y una real negativa. 

 Se satisface aqui el signo > . 



2". — Sea la ecuación 



aj6 _ 7^,0 _^ ^ 4^ 1 _|_ ^r¿^ _ 60a;' -|- 8i« — 40 = O 



La regia de Descartes nos dirá que esta ecuación á lo mas podrá 

 tener cinco raices reales positivas y una negativa. 



