150 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



La tercera nos dará 



+, +, +, +, +, +'• + 



que nos indica cinco como límite superior del número de raices 

 reales positivas, y uno como límite inferior de las negativas. 

 En esta ecuación se satisface el signo = de la espresion. 



2° caso. — En las ecuaciones de la clase de este caso, no puede 

 decirse que la una será superior á la otra, pues, como veremos, 

 habrá ecuaciones en que la de Descartes sea superior á la tercera ; 

 otras en que sucede lo contrario; y otras, en fin, en que den ambas 

 el mismo resultado. Esto se esplica de la siguiente manera. 



Al determinar límites por medio de la regla de Descartes, deberá 

 tomarse siempre en las ecuaciones incompletas el número de 

 variaciones de la propuesta y de su trasformada en — x; porque, 

 si se tomase el que indica el número de variaciones de la ecuación 

 dada y el número máximo de permanencias que se presentase en 

 la ecuación que se hubiese vuelto completa, atribuyendo á los tér- 

 minos de coeficiente cero cualquiera de los signos de las ambi- 

 güedades, podrian resultar límites superiores á los primeros, pero 

 nunca inferiores, que no serian preferibles, desde que se tiene 

 seguridad de aquellos. Ahora bien, al aplicar la regla tercera, las 

 variaciones que deberán tomarse, asi como las permanencias de 

 los signos de los coeficientes, serán estos últimos precisamente; 

 de modo que, si la serie de los signos inferiores estuviese cons- 

 tituida por puros signos -1-, el número de las variaciones-perma- 

 nencias, mas el de las dobles permanencias, será, en general, su- 

 perior al límite dado por la de Descartes, pudiendo ser igual, 

 aunque nunca inferior, en nuestro supuesto; y entonces, con estos 

 dos resultados, la de Descartes será superior á la tercera. Pero, si 

 en la serie inferior hubiese signos -f- y — , no podría asegurarse 

 que nunca dará límites mas pequeños esta que aquella, de modo 

 que se encuentra en condiciones de poder dar mejor resultado la 

 tercera. La preferencia no puede, pues, decidirse por una ni por 

 otra. 

 Aclararemos lo expuesto, con algunos ejemplos. 



r.— Sea la ecuación 



x' — 2x^-—9x — 6 = 



