152 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



superior del número de raices reales negativas, lo que forma un 

 total de cinco como límite superior del número de raices reales. 

 La tercera dá 



x"- ±0x' — \ Hx" — U-x- — 1 1 8» — 1 56 



+ , +, +, +. — + 



que nos indica uno como límite superior del número de raices 

 reales positivas; dos como límite superior del número de raices 

 reales negativas; ó sea tres como límite superior del número de 

 raices reales. Luego, la tercera se muestra aquí superior á la de 

 Descartes; con lo que dejamos comprobado lo que habíamos enun- 

 ciado. 



Segunda Parte 



/•"■ Caso. — La regla tercera es superior á la de Descartes. 



En efecto, tratándose de límites inferiores, será mejor la regla 

 que dé un límite mayor, lo que, por otra parte, ya lo hemos hecho 

 notar. Luego, como la regla de Descartes, en las ecuaciones com- 

 pletas, dá constantemente como límite inferior del número de 

 raices imaginarias, cero; y la tercera, en general, dá un limite 

 superior á cero, esta es sin comparación, superior á aquella. Ha- 

 cen ver prácticamente este resultado das dos ecuaciones presen- 

 tadas como ejemplo en el primer caso de la primera parle. 



5° Caso. — Tampoco, en este caso, puede decirse cuál de las dos 

 será superior, porque sus resultados pueden ser iguales ó des- 

 iguales indiferentemente. 



En efecto, el resultado de la comparación, en esta clase de 

 ecuaciones, de la primera parte, se puede espresar por la fórmula 



N = V. [j -\- d. p (a) 



Por medio de la regla de Descartes, un límite inferior del nú- 

 mero de raices imaginarias que tenga la ecuación, se obtiene por 

 la diferencia m — V del grado de la ecuación y del límite supe- 

 rior de raices reales suministradas por la misma regla. 



Por medio de la regla tercera, un límite inferior del número de 

 raices imaginarias, es dado por el número de variaciones que 

 tenga la serie inferior de signos, porque cada permanencia infe- 

 rior corresponde á una variación ó permanencia superior; y por 



