LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES 153 



consiguiente, el número tota] de permanencias inferiores será un 

 limite superior del número de raices reales de la ecuación; y 

 como la ecuación debe tener tantas raices como unidades tiene su 

 grado, ó como variaciones y permanencias reunidas tenga la serie 

 inferior de signos, se deduce que el número de sus variaciones 

 será un límite inferior del número de raices imaginarias. 



Representando por Vi este número de variaciones inferiores; 

 por Pí el número de permanencias inferiores, la espresion 



m - Pi == V, 



representará dicho límite inferior. Pero|siendo 



V. p -^ d. p = Vi 



la fórmula (a) puede escribirse así 



de donde 



< 



ó bien 



La comprobación de esta espresion con cada uno de los signos, 

 se encuentra respectivamente, en la 1*, 2" y 3* ecuación del se- 

 gundo caso de la primera parte. 



El resultado de este examen comparativo, se resume asi : 



En las ecuaciones completas, sea que se trate de determinar li- 

 mites del número de raices reales positivas, de las reales negativas 

 ó de las imaginarias, la regla tercera dará mejor resultado que la 

 de Descartes, y cuando menos, igual. 



En las ecuaciones incompletas, y con el mismo objeto, el mejor 

 éxito de una ú otra, dependerá de la ecuación de que se trate. 



En vista de estas conclusiones, nuestra opinión es que la regla 

 tercera es superior á la de Descartes; no obstante la mayor bre- 

 vedad de esta para su aplicación. 



Es claro que lo que decimos de la tercera es estensivo á la 



