156 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Haciendo « = — 1 , tendremos esta serie de signos ; 



El límite inferior suministrado será 



A;=:5— 1=4 



En esta ecuación, como se vé, las dos reglas dan el mismo re- 

 sultado. 



En estos dos ejemplos y en todos en los que hemos aplicado las 

 reglas, siempre la tercera se ha mostrado superior, ó á lo menos 

 igual á la de Sturm. Pero, como no podríamos decidir sino con 

 la limitada fuerza que en estos casos tienen las conclusiones em- 

 píricas, que tal resultado era perfectamente general, hemos pro- 

 curado demostrarlo metódicamente, habiendo conseguido nuestro 

 objeto de la manera siguiente : 



Sea la ecuación 



C(fl6 -f- C^X 4" CjíK ~ -]- . . . -f- Cm_2X~ -f- Cm—\X -j- Cfn = O 



Supongamos que al aplicar la regla tercera hemos obtenido un 

 cierto número L de variaciones en la serie, que nos dará, como 

 sabemos, un límite inferior del número de raices imaginarias. Nos 

 proponemos probar que en ninguna ecuación puede resultar de la 

 aplicación de la regia de Sturm, un límite inferior del número de 

 raices imaginarias que sea superior á L. Dividiremos la demos- 

 tración en dos partes. 



r — En esta demostraremos que si aplicamos á una ecuación 

 cualquiera, la regla tercera y nos dá un límite inferior L del nú- 

 mero de raices imaginarias, los coeficientes serán tales que la 

 aplicación de la regla de Sturm no puede dar origen á un número 

 de variaciones que exceda al de la propuesta, por lo menos, de 

 L -f- 3 unidades, cuando se dá á la indeterminada a un valor 

 positivo. 



2^ — Que si. se debe dar á a un valor negativo, tampoco la regla 

 de Sturm puede dar un número de variaciones que sea inferior 

 al de la propuesta de L + 2 unidades á lo menos. 



PRIMERA PARTE 



El caso mas desfavorable para llegar al resultado que nos pro- 

 ponemos aqui, es aquel en que se tenga L = 0, y que la ecuación 



