LAS REGLAS DE'NEWTON Y DESCARTES 157 



propuesta presenta puras permanencias. Coloquémosnos en él, y 

 vamos á demostrar que sólo una variación presentará el producto 

 de la ecuación propuesta por x — a, lo que dirá que el límite in- 

 ferior que por este medio obtengamos será cero : igual al anterior. 

 En efecto, haciendo el producto de la ecuación propuesta por 

 X — a, tendremos 



C^ÍC^+l+Cl 





X"*-P+-'^-\-Cp 



— Cp-ia 



X'^-P+i-^Cp+'í 



— Cpa 



x"-PH-...+Cm 



— Cm-ia 



X 



Elijamos el coeficiente de un término cualquiera de este pro- 

 ducto; por ejemplo el 



Cp — Cp_i a (M) 



Es claro que este coeficiente puede ser positivo ó negativo; 

 cada uno de estos supuestos constituye una división de esta pri- 

 mera parte. La primera de estas divisiones la caracterizamos por 



Cp — Cp_ia > O 



ó bien c''>Cp_ia; (N) 



y la segunda por 



Cp — Cp_ia<0 



ó bien Cp<Cp_ia (N') 



Afirmamos ahora, y lo demostraremos en seguida, que cual- 

 quiera de los dos valores, (N) ó(N'), que tome el coeficiente (M), 

 todos los coeficientes que le siguen serán negativos, y los que le 

 preceden positivos. 



Esta demostración comprenderá entonces cuatro subdivisiones, 

 del modo siguiente : 



/ Primera div. ( 1' subdiv. — Términos de la derecha _ 

 Primera parte \ ^p ^ Cp-^a { 2" subdiv. — Términos de la izquierda 

 a positivo \ Segunda div.^ 1^ subdiv. — Términos de la derecha 

 \ Cp <. Cp-\a } 2" subdiv, — Términos de la izquierda 



PRIMERA DIVISIÓN 



Primera sub-division 



El caso mas desfavorable para nuestra demostración, hemos 

 dicho que era cuando L = 0. Esta igualdad es representada por 

 la serie de desigualdades siguientes : 



