162 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Nos parece supérfluo detenernos á demostrar la generalidad de 

 estos resultados, pues bastaría seguir un procedimiento análogo 

 al usado en la primera sub-d¡ visión. 



Por la misma razón damos por demostradas las otras dos sub- 

 divisiones de esta primera parle, que son las que corresponden 

 al caso en que se dé á a un valor que satisfaga la desigualdad 



f Asi, pues, el resultado de lo que se ha visto en esta primera 

 parte, es el siguiente : 



Cuando la ecuación propuesta no presenta mas que permanen- 

 cias, y el límite inferior de raices imaginarias suministrado por 

 la regla tercera es L = 0; cualquiera que sea el valor positivo 

 que se dé á la indeterminada a de la regla de Sturm, los signos 

 del producto de la propuesta por ¿c — a, se dividirán en dos par- 

 tes : la de la izquierda, de signos positivos, y la de la derecha 

 de negativos, y no habrá por consiguiente, mas que una varia- 

 ción; es decir, que el límite suministrado por esta regla, será cero 

 también. Queda con esto demostrada la primera parte en el caso 

 mas desfavorable que puede presentarse; luego, a fortiori será 

 cierta en los demás. 



SEGUNDA PARTE 



El caso mas desfavorable para demostrar lo que nos proponemos 

 en esta segunda parte, es aquel en que la ecuación propuesta 

 presenta puras variaciones, siendo el limite L = 0. Vamos á ver 

 que el producto de la ecuación por x -\~ a no presenta mas que 

 una permanencia, o lo que es lo mismo, tendrá tantas variaciones 

 como la propuesta, con lo cual habremos demostrado que el límite 

 inferior del número de raices imaginarias, suministrado por la 

 regla de Sturm, será igual al que dé la tercera. 



Sea la ecuación 



Su producto por x ■\- a, dará 



Coo;'"-^^ — Cj 



■\-c,a 



X "T" • • • —" Cp — j 



— Cp-^ a 



-\- Cp a 



X'»-P-\-...±Cm 



^^ Cm-i a 



X 



