LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES 165 



hacer ver que el coeficiente siguiente será negativo, pues bastaria 

 para ello seguir un procedimiento análogo. 

 Tenemos que demostrar, pues, que es cierta la desigualdad 



Cp+2nO' !> Cp_^.2n+l (S) 



Pongamos, con este objeto, en lugar de a, — ^ , y tendremos 



(^p Cp+-2n S> Cp_i Cp^o„_^i [p J 



Multipliquemos ordenadamente las (p) y (p-{-2n) de las (P) ; 

 tendremos 



Como esta desigualdad es cierta, si en ella se verifica 



^p+l ^p+2n—l J> Cp Cp+2>t (S ) 



con mayor razón se verificará la (S'). Multipliquemos para esto las 

 {p-\- ^) y ip + 2n — 1 ) ; se tendrá 



^"p-t-l C'p+-2n-l S> Cip^i C(p+2n-l Cp Cp^o Cp_^,o„_o Cp^2n (2) 



y si en esta sucede que 



Cp+-2 Cp-(-2n-2 ->■ Cp+.i Cp^2n—l (S ) 



con mayor razón será cierta la (S)". Continuando de la misma 

 manera encontraremos las condiciones necesarias siguientes : 



^p4-3 ^p+2n-3 -> ^p4-2 (^p-\-2n-2 (S") 



^p+i ^p+2n-i J> Cp-(-3 ^p+2ti— 3 (S ) 



C p+n ^ Cp^n—1 (^p+n+1 \^ ) 



Las desigualdades análogas á las (1) y (2), que sucesivamente 

 obtendremos con el mismo objeto que ellas, serán 



^'p4-2 C p-t-2n-2 S> '3'p4-2 ^p-l-2n— 2 Cp+x Cp^^ Cp^_9„_3 Cp^2n—l ("j) 



^ P-h3 '^ p4-2n-3 ^ ^p-hZ *pH-2n— 3 Cp-l-2 ^p+i Cp4-2n-4 Cp+2)i-2 (.*) 



C p-i-n ^^ ^p+n ^p-l-n— 1 ^p4-n4-l V l~ ^ / 



Pero, como la {n-\-\) es cierta, con mayor razón lo será la(S^''^^^), 

 y por lo tanto la (S^"0, y asi sucesivamente hasta la (S). 



Queda con esto demostrado lo que nos proponíamos en la pri- 

 mera sub-division de la primera división. 



Nos parece innecesario entrar á demostrar las otras sub-divi- 

 siones, pues observando el mismo procedimiento, se evidenciará 

 la verdad de ellas. 



