170 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



la suma ó la diferencia de variaciones no son iguales al número de 

 raíces comprendidas entre ol y ^, le sobrepasarán en un número par. 



Nota. — Supongamos que aplicando el teorema de Fourier, por 

 medio de las derivadas 



F(x), ¥'{x), F"{x), ..., F^'^-'^x), ¥^"\x), (2) 



los cambios de signo de esta serie indiquen entre a y ¡5 >► a un nú- 

 mero r de raíces reales de F(a?) = 0. Sustituyamos estos mismos 

 números a y 3 en la serie (I). Si F(x) se ha anulado efectivamente 

 r veces en el intervalo de a á ¡3, es claro que la diferencia ó la 

 suma de variaciones de las series (a) y (b) será por lo menos igual 

 á r. Pero, salvo el caso de una ecuación que tenga todas sus raíces 

 reales, el número de raíces que verdaderamente existen entre a y ¡3 

 no será sino r — 2^; la serie (2) habrá ganado r — 2 i permanen- 

 cias el pasar F(a;) por cero y 2¿ permanencias al pasar por cero 

 una ó varias délas funciones intermediarias. Ahora bien, si el in- 

 tervalo de a á 3 es relativamente pequeño (si ¡3 — a = 1 , por ejem- 

 plo), la serie (I) no indicará sino estas r — 2i raíces reales, en 

 general ; en efecto, para que indicara un número mayor sería nece- 

 sario no solamente que se anulara una de sus funciones interme- 

 dias ; sino también que las dos funciones que preceden y siguen á 

 la función nula fueran del mismo signo ; ó bien que se anularan 

 varias funciones consecutivas; esto no sucederá generalmente, 

 puesto que las series (1)y (2) no tienen de común sino la primera 

 función F(x) : las funciones intermedias son diferentes en una y 

 otra y se anulan por consiguiente para valores en general también 

 diferentes de x. 



Sean, pues, ra, r,3, ?-•/, ..., los números de raíces reales que la 

 serie (2) indica puede haber entre a y «', entre Py ^', entre y y 

 y', ...; y sean r« — 2px, r¡9 — 2i¡3, r-/ — 2íy, •••, las indicaciones 

 correpondientes de la serie (1) en estos mismos intervalos. Se to- 

 mará estas últimas cantidades como límites superiores de los nú- 

 meros de raíces comprendidas entre a y a', ¡3 y ^', y y y', . ..; y se 

 podrá afirmar, en consecuencia, que la ecuación propuesta tiene, 

 por lo menos, 2ta-j-2z>-|-2{y-t-... raíces imaginarias. Se ve que 

 el teorema de Fourier, así estendido, puede considerarse como un 

 método para determinar el número de las raíces imaginarias, no 

 directamente, sino por via de separación de las raíces reales. 



