RAÍCES REALES DE LAS ECUACIONES 4 71 



Sea por ejemplo la ecuación 



x'^-\-a)^ — x^ — x^-^x^ — X + 1=0. 



Aplicando el teorema de Fourier por medio de las derivadas, en- 

 contramos que, si esta ecuación tiene raíces reales, deben estar 

 comprendidas entre — I y O, entre O y 1 : para 



x = — \ 

 x = 

 x = \ 



+ - + - + -+, 



+ - + + +, 



+ + + + + + +, 



es decir que puede haber 2 raíces entre — 1 y O y 4 raíces entre O 

 y 1. Pero si aplicamos ahora el teorema á la serie (1), encontrare- 

 mos para estos mismos valores de x los signos siguientes : para 



x= — 1 

 x = 



x= 1 



+ + + + 4- + +, 

 + + + + + + +, 

 + + + + + + +, 



lo que demuestra que entre — 1 y O, entre O y 1 no hay ninguna 

 raíz real ; de donde se sigue que la ecuación propuesta tiene todas 

 sus raíces imaginarias. En este ejemplo, tan fácil de resolver por el 

 teorema de Fourier aplicado simultáneamente por medio de dos 

 series de funciones, el teorema de Sturm habría conducido en el 

 último resto á un número compuesto, como dice Serret, de no 

 menos de cuarenta y tres cifras. Podría presentar muchos otros 

 ejemplos que en diferentes obras de Algebra, como las de Serret, 

 Briot, Laurent, Todhunter, etc., se dan como ejercicios sobre el 

 teorema de Sturm, y que pueden así resolverse exacta y rápida- 

 mente. 



II. — Extensión del teorema de Sylvester 



El teorema de Sylvester puede igualmente extenderse á la se- 

 rie (1) de funciones. Si se forma la serie asociada 



Y{x\ Fi(íc), Y,{x), ..., F,.(xl ..., F,_,(x), F„(x), ] 

 Q{x), G,{x), G^ix), ..., G,.(x), ..., Gn-,{x), . Gnico), ) ^^ 



