472 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



donde un elemento cuadrado cualquiera, G,.(a?), tiene por expre- 

 sión 



el teorema se enunciará de la siguiente manera : 



Si x y ^ son del 7nismo signo, el número de raices reales de 

 F(a;) = O comprendidas entre x y ^ no puede ser mayor que la dife- 

 rencia entre los números de variaciones permanencias ni tampoco 

 mayor que la diferencia entre los números de dobles permanencias 

 que presente la serie (1') para x = ol y x = ^. (Es claro que, de es- 

 tas dos diferencias, desiguales en general, convendrá tomar la que 

 dé un límite menor para el número de raíces comprendidas entre 



Si Oí y ^ son de signos contrarios, dicho número de raíces no puede 

 ser mayor que la suma de los números de variaciones permanencias 

 para ce = (3, x = a.. 



En ambos casos, si el limite obtenido para el número de raices no 

 es exactamente igual á este número, le sobrepasarcí en un número 

 par. 



Nota. — Supongamos que se ha aplicado primero el teorema de 

 Sjlvester por medio de las derivadas y encontrado las cantidades 

 roí, r/s, r-/, .... para límites superiores de los números de raíces 

 comprendidas en los intervalos de aá a', de 3 á ¡i', de y á y', ..., y 

 sean r« — 2¿a, r/s — 2¿/3, r-/ — 2iy, ..., los límites correspondientes 

 dados por la serie (1 ') ; la ecuación propuesta tendrá por lo menos 

 2/a+ 2?J+ 2// + . . . raíces imaginarias. Si se analizan las condi- 

 ciones, ó más bien dicho las coincidencias necesarias para la serie 

 asociada formada con las derivadas y la serie (1 ') indiquen á la vez, 

 en un intervalo dado, número mayor de raíces que las que verda- 

 deramente existen en ese intervalo, se observará que son numero- 

 sas y por consiguiente difíciles de realizarse ; por esta razón, en el 

 teorema de Sylvester; los intervalos de a á a' pueden tomarse 

 mayores que en el teorema de Fourier, lo que disminuye el nú- 

 mero de sustituciones; y aún se puede asegurar que, salvo casos 

 extremadamente raros, el método de Sylvester, aplicado por medio 

 de dos series de funciones, permite conocer el número exacto de las 

 raíces imaginarias por la sola sustitución de números enteros. 



