RAÍCES REALES DE LAS ECUACIONES 173 



Ejemplo : 



iOSúc^— 224»'+ 185£ü'— 75cc2+15í» — 1 =0. 



Si aplicamos el teorema de Sylvester por medio de las derivadas, 

 en el intervalo de ¿c = á x= \, encontramos los signos : para 



00 = 1, x = ] . I, 



(+ + + + + +) i + +) 



lo que nos indica que entre O y 1 puede haber 3 raíces y que no 

 hay ninguna entre 1 y oo , en resumen, que la ecuación propuesta 

 no puede tener más de tres raíces positivas, que deben buscarse 

 solo en el intervalo de O á 1 . Si aplicamos el teorema por medio de 

 la serie (I '), en este mismo intervalo, tenemos para 



. = oj --[ .^ij +- + - + - 1 



( + 0000+)' ( +- + - + + ) 



lo que prueba que entre O y 1 no hay sino una raíz real, pues la 

 diferencia entre los números de variaciones permanencias es igual 

 á I . De donde se concluye que la ecuación propuesta no tiene sino 

 una sola raíz real, positiva y comprendida entre O y 1 . 



III. — Un teorema sobre el límite superior de las raices positivas 



Sea 



fn{x) =Co, 



/; (x) = cox'^-' + c.x'^-' + c,x-' + . . . + C,_i, 



f (x) = CoX" + CiX"-' + c^x"-- + . . . + C„_i X + c,„ 



Qn =[fn{x)f, 



gn-X=^ [fn-1 {x)f—fn{a))fn-2(00), 



9n-2= [fn-2{(X!)f— fn-l(oc)fn-z{oo), 



g.{x) = [f,{x)f-f,{x)f\x), 

 .g{x) =[f{x)J. 



