210 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



como también al último resto que es independiente de x; 

 y se sustituyen en las fanciones de Stiwni dos números 

 cualesquieras a y p>a, anotando las variaciones de signo 

 producidas, la diterencia que hay entre el número de va- 

 riaciones que produce el número a y el de las que produce 

 ^en las mismas, es precisamente igual al número total de 

 raíces reales de la ecuación /'(<3?) = O comprendidas entre 

 a y ¡5». 



Este es el enunciado que da Thoudunter y la mayor parte 

 de los autores entre ellos : Serret, Ghoquet, Cortázar, Ro- 

 binson, etc. 



A Trudi, profesor de Cálculo en la Universidad de Ña- 

 póles^ se debe una demostración del teorema de Sturm, 6 

 mejor del recíproco, la cual fué publicada en Ñapóles 

 en 1863 (^), y cuyo enunciado es el siguiente : 



« Dada la ecuación F(¿c) = 0, que no tiene raíces iguales, 

 y dos números cualesquieras a y ¡3, se forma la serie de 

 funciones S{oc) (funciones de Sturm), y luego las dos series 

 de signos correspondientes : Sa y S/3. Entonces si la ecua- 

 ción tenía n raíces reales comprendidas entre a y Py siendo 

 a <, 3, decimos que la serie S« tendrá precisamente n varia- 

 ciones menos que la serie S^s. » 



Sánchez Vidal (^) enuncia el teorema de Sturm del modo 

 siguiente : 



Si se aplica á una ecuación de coeficientes reales 

 f{3o) = y á su derivada/i(¿c) el procedimiento del máximo 

 común divisor con la condición de cambiar los signos, etc.»; 

 pero el verdadero enunciado es fuera de toda duda el pri- 

 mero, con la demostración de Sturm, y veremos más ade- 

 lante cómo puede aplicarse el teorema al caso de una ecua- 

 ción que también tenga raíces iguales, en esto consiste la 

 diferencia de los dos enunciados. 



Si en vez de la sustitución de los números a y ^ en las 

 Funciones de Sturm, hiciéramos la de — oo y -f oo , ó la de 

 — L y L' como límites, interior y superior, obtendríamos 

 el número total de raíces reales de la ecuación propuesta. 



Antes de pasar á la demostración del teorema establecé- 



is) Battagliani, Janni é Trudi, Giornale de Matemátiche . V. I. Ñapóles 1863. 

 (*) Sánchez-Vidal, Madrid, 1880. T. II. 



