212 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



2'' Si una de las funciones auxiliares se anula para un 

 cierto valor de x, las funciones adyacentes deben, para 

 este mismo valor, ser iguales y de signos contrarios. En 

 efecto : 



Si para el valor x = a se anulaJKx) se tiene según la ley 

 de formación de las funciones: 



A-i (^) = Qa- • /;. {^) - A.i {^) 

 ó bien 



pero por hipótesis se tiene /,(«) = O luego: 



fh-i{a)= — f,z+M)' L. Q. Q. D. 



3^ La última función de Sturm, debe ser diferente de 

 cero; pues al formar la serie de funciones debe llegarse á 

 un resto independiente de o?, y que debe ser un número, 

 pues de lo contrario la ecuación _/ (a?) = O tendría raíces 

 iguales lo que es contrario al enunciado del teorema. 



4'' Dos funciones de Sturm consecutivas no pueden anu- 

 larse para un mismo valor de oc, pues si así fuera, se anu- 

 larían todas las siguientes incluso la última, lo cual es ab- 

 surdo. 



En efecto': si se anulan para f\{x) y /6(ír) para un cierto 

 valor de oc se tiene: 



pero si f^{x) y f^{x) se anulan para un mismo valor de x 

 tendremos: 



Mx)=0. 

 Del mismo modo : 



Mx) = Q~,.f,{x)-Ux) 



y comof(,{;x) yf{x) se anularon se tendrá 



y así sucesivamente hasta ftn(,os)=0. 



