TEOREMA DE STÜRM Y SUS APLICACIONES 213 



IV 



DEMOSTRACIÓN 



Supongamos formadas las funciones de Sturm y siendo 

 a y ^>a los números á sustituir en la serie de aquellas. 



Si hacemos variar x desde a hasta ¡3 podemos observar 

 si el número de variaciones de signo cambia ó no^ y for- 

 mularemos estas dos proposiciones : 



1* u El número de variaciones no cambiará ó no se 

 perderá ninguna variación de signo siempre que para un 

 cierto valor de x se anule una función auxiliar cualquiera 

 pero sin anulársela primera de Sturm /(ce) = 0. » 



2^ « El número de variaciones cambiará ó se perderá 

 una variación de signo para cada uno de los valores de x 

 que anulen á f{x). » 



Demostradas estas dos proposiciones, habremos demos- 

 trado el teorema, pues si para cada raíz real de /(o?) cor- 

 responde una pérdida de variación de signo en el paso de a 

 á ¡3, es claro que el número total de raíces reales compren- 

 didas entre a y ¡3 será igual á la pérdida total de variaciones 

 para a?=ay a;=3- 



Demostración de la I"" proposición 



Supongamos que una función auxiliar/A.(ír) se haya anu- 

 lado para el valor x = a, comprendido entre a y ¡3 y que no 

 se anule f{x)', entonces se tiene : 



y en virtud de la 2* observación establecida antes : 



fh-i{a)=—fu^y{a). 



