214 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Demos ahora á x dos valores a -\- Iiy a — h^ siendo h una 

 cantidad suficientemente pequeña para que en el intervalo 

 de {a—h) á {a + h) las funciones//;_i(a?) y fk^i{x) no se anu- 

 len y por lo tanto no cambien de signo ; así estas funciones 

 no cambiarán de signo para los tres valores re, a — hy 

 a + h, y tendremos este resultado : 



Asi si fh-iipo) era positiva antes del valor a había una per- 

 manencia y una variación de signo, y si fuera negativa el 

 resultado sería también el mismo, luego aún cuando una 

 función auxiliar se anule para un valor a de x, no se 

 pierde variación en las series de signos, quedando así pro- 

 bada la 1" proposición. 



Demostración de la 2°^ proposición 



Supongamos que para x — a se anule la 1" función de 

 Sturm f{x) = y se tendrá : 



/(a) = 0. 



Hagamos nuevamente x=^a — h y x=a-\- li siendo h tan 

 pequeño como se quiera para que en el intervalo de a — Ii 

 á a4-/¿ no haya ninguna raíz de lal' derivada fi{x) es decir 

 que no se anula para x=a (observ. 4'), tendremos que : 



Ua-h), Ma) y /(« + /i) 



tendrán el mismo signo. 



Pero si dam.os á a? el primer valor x = a-~ h, en la ex- 

 presión propuesta se tiene según el desarrollo de Taylor : 



f{x) =f{a - h) = f{a)-lif,{d) + ^Mct) —^M.^<) + • • • • 



