TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 215 



Indicando con f\yf'¿^fi ..., las derivadas sucesivas y po- 

 niendo los denominadores bajo el signo factorial : \ ; 



pero como por hipótesis f{á)=0 tendremos : 



Aa--h)=-h[Ma)-Ma)l^+Ma)^~-"'j. 



El paréntesis es una cantidad positiva pues siendo h tan 

 pequeña como se quiera, los términos van disminuyendo 

 de más en más, y el signo depende del primer término que 

 es positivo, luego el signo áej{a — h) es negativo. 



Dando a su vez el valor x = a + h tendremos: 



ó bien 



f{a + h) =/(«) + h/M + ^ A(«) + . . . , 



/(« + /^) = /^[/i(«) + /2(«) I +..•]. 



La cantidad entre paréntesis es también positiva y el 

 signo de f{a-{-h) es pues positivo. En general: en el I®"" 

 caso, antes del valor a, f{üG) y fxix) tenían signos contra- 

 rios y después lo tienen igual, y podemos escribir este 

 cuadro : 



ÍÁA 



Este cuadro nos dice : que si f{x) era positiva antes del 

 valor a, se hace negativa después de este valor, y como 

 /i(a)) tenía signo contrario al de aquella para ¿í?==a — A, y 

 debe conservar este signo en los tres valores : a — h,a^ 

 a -\- hy se deduce que la variación de signo que existía antes 

 de a se ha perdido. 



.Del mismo modo, nos dice que si antes de a,f{x) era 

 negativa, pasando este valor, se hace positiva; pero /(a?) 



