TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 217 



Sturm y la que produce x = en las mismas : es 2, luego 

 la/(a?) = tiene dos raíces reales comprendidas entre O 

 y 2. Resolviendo la ecuación veríamos que entre O y 2 hay 

 estas raíces : 



a?' = l y a?" ^0,5. 



Observación. — Hemos dicho que si para x=a se anu- 

 laba una función auxiliar sin anularse f{x) — 0, no se per- 

 día ninguna variación de signo; pero es bueno hacer notar 

 que si bien no hay una pérdida de cambio de signos hay 

 una alteración de los mismos (^). 



Si m y /i son dos raíces consecutivas de/(í3?) = siendo 

 /i> m se tendrá : 



y 



An) = 0, 



pero haciendo 03 = m — h, siendo h tan pequeño como se 

 quiera^ f(m — h) y J^ {m — h) presentan variación de signo, 

 variación que se pierde pasando a? del valor m. 



Si consideramos á su vez la otra raíz n, y hacemos 

 0D = (n — A) y x = {n-\-A) siendo A tan pequeño como se 

 quiera, tendremos que : 



/(/i-A) y A(n-A); 



presentan signos diferentes, y que : 



/(/2 + A) y /;(/i + A) 



presentan nuevamente signos iguales; por lo tanto si/(¿c) 

 y fi{x) tenían signos iguales inmediatamente después del 

 valor m, y signos diferentes inmediatamente antes del va- 

 lor n, es evidente que fi{oo) ha cambiado de signo y por lo 

 tanto ha pasado por una raíz y en general por un número 

 impar de raíces comprendidas entre /?i y ti; y no /(íx?) pues 

 myn son raíces consecutivas por hipótesis. 



(^) Thoudunter. 



