218 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Esto demuestra el conocido teorema de Algebra que 

 dice : « Entre cada dos raíces consecutivas de una ecua- 

 ción /(a7) = 0, hay por lo menos una y en general un nú- 

 mero impar de raíces de la ecuación derivada ». 



Demostración del teorema recíproco (^) 



Sea f{x) = O una ecuación que ne contiene raíces iguales 

 y :í y 3> a dos números que no sean raíces de la misma ; 

 podremos distinguir tres casos : 1° que entre a y [3 no exista 

 ninguna raíz de f(a}) = 0', 2" que exista una sola; 3° que 

 existan z raíces. 



P^ Caso. — Que entre a. y '^ no haya raices defix) = 0. — 

 Podemos siempre considerar la serie de números : m, n, 

 p ..., s, tales que anulen á alguna de las funciones de 

 Sturm ; entonces en la serie 



a, m, n, p . . ., s, ¡3, 



no habrá entre dos números consecutivos valores de x que 

 anulen á ninguna función de Sturm. 



Ahora bien considerando un número e comprendido entre 

 a y m, este podrá ser un límite absoluto tanto de uno ú 

 otro, y entonces sustituyendo e en las funciones de Sturm, 

 obtendremos la misma serie de signos que al sustituir a 6 

 m; estas series se llaman entonces equivalentes, y no cam- 

 biará el número de variaciones; del mismo modo las se- 

 ries de signos que producen myn, son también equiva- 

 lentes, y lo propio pasa con las series de s y ¡3, luego si la 

 ecuación propuesta no tenía raices reales comprendidas 

 entre a. y ^, no se pierde ninguna variación de signo por 

 sustitución de estos números « en las funciones de Sturm. » 



2° Caso. — Que entre x y ^ haya una raíz def{x). — Sea 

 (^) Nicolás Trudi, Obra citada, Ñapóles, 1863. 



