TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 219 



a la raíz comprendida entre a y P y dos números e y s' que 

 podemos considerar como límites absolutos de a en todas 

 las funciones en que hemos de sustituirlos, el uno e com- 

 prendido entre a y a, y el otro e' entre a y ^. 



Indicaremos las series de signos, producidos por la sus- 

 titución de un número con la letra S, afectada del número 

 como índice; entonces como en el caso anterior las series 

 Sa y Ss son equivalentes, es decir que presentan el mismo 

 número de variaciones; y las series Se' y S/9 son también 

 equivalentes entre sí : 



Ahora bien, las espresiones : 



A(e), A(«) y A(e'), 



presentan igual signo; pero como sobemos f\{¿) y f{i) tie- 

 nen también signo igual mientras que /i(£') y/(s') tienen ya 

 signos diferentes, luego la variación en la serie Ss se ha 

 convertido en permanencia en la serie Se', luego habiendo 

 entre a y ¡3 una raíz a de f{x) se ha perdido una variación. 



5^'' Caso. — Que entre ^y ^ haya % raices de f(x). — Su- 

 pongamos que entre a y ¡i haya las raíces 



a, b, c, . . ., n; 



indiquemos con e^ e^, e, . . ., eti— ,, números que estén com- 

 prendidos respectivamente entre a y b; entre 6 y c ..., 

 estando aquellas raíces dispuestas en orden creciente de 

 magnitud. 

 Tendremos así la serie siguiente de (tt + 1) números ; 



a? El, £2> ^3 • • • ) £^— I > im- 

 pero según el caso anterior, como entre cada dos de es^ 

 tos números, existe una y tan solo una raíz de /(¿í?), si for- 

 mamos la serie de signos^ sustituyendo esos números en 

 las funciones de Sturm tendremos : 



Oa, Oíj, Sej, OEg . . ., 0£jj j, O/S. 



Ahora bien la serie Sa tendrá una variación más que la 



