:220 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Si,; esta una más que la S?,, y por ñn la S£;j_i una variación 

 más que la serie S,3 ; por lo tanto la serie de signos Sa tiene 

 - variaciones de signos más que la S,9, quedando así de- 

 mostrado el recíproco del teorema de Sturm. 



Esta demostración está fundada en la siguiente propie- 

 dad que ha sido demostrada también por Trudi : 



« Sea f(x) = una ecuación que no tenga raíces múlti- 

 ples, y £ un límite absoluto de una raíz real a con respecto 

 ala misma y á la primera derivada /i(a;); probaremos que 

 para x = t las dos funciones"/(cZ?) y/K^) toman signos con- 

 trarios si e es un límite inferior dea y el mismo signo si 

 es un límite superior. » 



Llamando b, c ..., k las demás raíces de /(ce), é indi- 

 cando con íp(.r), el producto de los factores correspondientes 

 á todas las raíces imaginarias se tiene la igualdad : 



f(x) = {x — a) [X — b){x — c) ..., (x — k)<f{x), (1) 



y para x = z : 



/'(s) = (e'-a)(e-6)(.-c) ..., (£-/c)o(e). 



Pero siendo a una raíz de /(«), podemos sustituir su va- 

 lor en* la (1) y tenemos en viturd de un conocido teorema 

 de Algebra : 



'o^ 



/j (a) = (a — 6) (a — c), . . . , (a — A^) 9(a) . 



Ahora bien, siendo t un límite absoluto de la raíz a res- 

 pecto á la función /(«), es claro que los números a y b son 

 entre ambos mucho menores ó mucho mayores que cada 

 una de las otras raíces; por lo tanto los signos de las dife- 

 rencias (e — 6), {t — c)...,(z — k) deben ser respectivamente 

 semejantes á los de las diferencias (a — ¿>), (a — c) ..., 

 (a — A); por otra parte siendo ©(s) y ©(a) cantidades esen- 

 cialmente positivas, resulta que los signos de f(e) y./i(a) 

 serán contrarios 6 iguales según que se tenga: 



£ < a ó £ > a ; 



pero también el signo de fi{a) es igual al de /i(£) puesto que 



