TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 221 



hemos supuesto ás un límite absoluto también respecto á 



la función derivada /i(íe), luego los signos de /(e) y /i(£) ó de 



J{x) y fi{x) son iguales ó contrarios para x = e según que e 



sea mayor ó menor que a, quedando así probado el lema. 



Esta demostración puede fácilmente extenderse aún en 

 el caso en que la ecuación f{x) tenga raices múltiples. 



En efecto : sean a, una raíz simple, y b, c, d . . ., k, las 

 raíces múltiples cuyos grados de multiplicidad sean res- 

 pectivamente : 3, Y...,iJ.; podemos poner la siguiente 

 igualdad según el teorema de los factores binomios eleva- 

 vados á los respectivos grados de multiplicidad: 



fice) = {x — a) {x — by(x — c)/ . . . , (x — k)f^<!^ix), 



siendo como antes cf(x) el producto de los factores bino- 

 mios correspondientes á las raíces imaginarias; y del 

 mismo modo que antes pondremos x=e, y para valor de 

 la derivada: 



y la demostración sería ya exactamente igual. Si supo- 

 nemos que también la raíz a sea múltiple del grado a, divi- 

 diríamos á f{x) por {x — ay-^ y tenemos 



y por lo tanto a será una raíz simple de la ecuación /^ (a?); 

 entonces 



f{x)={x — ay-^. f,{x), 

 y derivando: 



y dividiendo por la anterior resulta: 



Mx) ^ f^{x) g-l^ 

 f\x) f,{x) » — a' 



