TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 223 



Así, si para x = cse anula /«(a?), y si las fanciones : 



toman los siguientes signos para x = c: 



podemos tomar para f„{x) el signo + ó el — . 

 Si tomamos el primero, se tiene la serie: 



/n—Zy /n-2) //í-1) Jn) / n-k-\y 

 + — -I- + - 



donde vemos que el número de cambios de signos es 3. 

 Si hubiéramos tomado el signo menos se tendrá la serie: 



Jn—3j Jn—2y J n—\ i Jni J H-vXt 

 + - + - - 



que presenta también 3 cambios de signos. 



2. Si se quiere hallar el número total de las raíces reales 

 de una ecuación, habrá que sustituir no los números a y 3 

 sino dos límites R y R' de aquellas raíces, y el número de 

 raíces buscado será el exceso de variaciones que produzca 

 el número R' en las funciones de Sturm sobre el que pro- 

 duzca R sustituido en las mismas. 



El mismo resultado se obtiene sustituyendo — oo y + oo 

 en vez de los limites R y R'. 

 Si en las mismas funciones sustituimos.los valores : 



x=.^ y íb:= + oo, 



el exceso de variaciones que produce + ^o sobre O, es igual 

 al número total de raíces positivas reales de f{x) = 0', y 

 para hallar el de las raíces negativas, bastaría también 

 sustituir en las diversas funciones x por — x y seguir el 

 mismo procedimiento indicado. 



3. Una propiedad notable que resulta de la aplicación 

 práctica del método de Sturm es la siguiente : 



