■ TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 227 



dejará los mismos signos de antes y la serie respectiva 

 presentará {jh — n) permanencias y n variaciones. 



Indiquemos con R,. el número total de raíces reales de 

 f{x)^=0 y con R¿ el de raíces imaginarias; según el teorema 

 de Sturm, R,. debe ser igual á la diferencia entre las va- 

 riaciones que produce — oo y las que produce + oo en las 

 funciones de Sturm, es decir: 



R,.= (m — n) — n = m — 2n, 



y el número de raíces imaginarias será la diferencia entre 

 el grado de la ecuación y R,. es decir 



Ri = ni — {m — 2n) = 2n, 



pero n era el número de variaciones de signo de los pri- 

 meros términos de las funciones de Sturm, luego para 

 cada una de estas variaciones habrá dos raíces imaginarias 

 de la ecuación /(íc)=0. l. q. q. d. 



Esta propiedad nos permite pues saber a priori, cuál es 

 la clasificación de las raíces de una ecuación. 



Ejemplo. — ¿Cuál es la naturaleza de las raíces de la 

 ecuación 



/(a;) = «' + 4a;'^— 3íc'- + 2í» + 6 = O? 

 Formando las funciones de Sturm se tiene: 



f{x) =x'-\-^x'—^x~-\-2x + Q, 



f,{x) = Ax' -^í2x-—6x-^2-^2x'^ 6x' — 3x + 1 , 



f2(x) = 9x~ — 6x — 11, 



Mx)=—Alíx — 9n, 



/; (a;) =—2657064. 



Los primeros términos de estas funciones presentan una 

 sola variación de signo, luego la ecuación propuesta tiene 

 dos raíces imaginarias, y las otras dos reales. 



