TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 229 



VI 



APLICACIÓN DEL TEOREMA DE STURM RELATIVA Á OTRO MODO 

 DE FORMAR LAS FUNCIONES DE AUXILIARES 



Hemos dicho que las funciones de Sturm se formaban 

 aplicando á la ecuación propuesta y á su derivada el pro- 

 cedimiento del m. c. d.\ y cambiando los signos de los res- 

 tos asi obtenidos estos constitiiian las funciones auxi- 

 liares. 



Pero hay ciertas ecuaciones que permiten la formación 

 de las mismas sin hacer intervenir la derivada primera, 

 satisfaciendo á ciertas condiciones. 



Sea f{x) = una ecuación que no contiene raíces iguales 

 y/i(íK) su primera derivada; además sea ?(a?) un polinomio 

 de coeficientes reales que no contenga factores comunes con 

 f(x), y de tal naturaleza que un valor raíz de esta ecuación 

 sustituido en fi{x) y en 9(3?) den resultados del mismo 

 signo. 



Ahora bien, si á f(x) y á <?(í») se les aplica el procedi- 

 miento del ni. c. d. cuidando de cambiar el signo d e los 

 restos antes de pasar á ser divisores, obtendremos una 

 serie de funciones, tales que la última será independiente 

 deí», y que se puede operar sobre ellas con el teorema de 

 Sturm lo mismo que si hubiéramos formado las funciones 

 por el método general, y con el mismo resultado. 



Para hacer ver esto no hay sino repetir las mismas ra- 

 zones que expusimos en las dos proposiciones que proba- 

 ban el teorema; se perderá siempre una variación de sig- 

 no cada vez que f{x) = Q se anule para un cierto valor de 

 X, y no se perderá ninguna si se anula una función auxiliar 

 sin anularse /(a?). 



