235 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



y á ellas se podrá aplicar el método de Sturm si satisfacen 

 á estas condiciones : 



1" La última función /„(a;) no debe cambiar de signo para 

 valores de x comprendidos entre dos límites dados a y 3; 



2^ Para un valor de x comprendido entre a y ÍS^ dos fun- 

 ciones consecutivas no pueden anularse; 



3* Si para un valor de x se anula una función cualquiera 



menos /(«), las dos funciones que la comprenden deben 



tener signos contrarios; 



/' (x) 

 4'' La relación • ,., , pasa, siempre que f(x) se anule, de 



negativa á positiva cuando p>a y de positiva á negativa 



cuando a>>í3. 



Estas son las condiciones que establecimos al hacer la 



demostración del teorema, y por consiguiente el número 



de las raíces reales de la ecuación /(í»)=0 comprendidas 



entre a y ¡3 será igual al número de variaciones perdidas en 



la série(l) para £K = a y íK=i3. 



f (x) 

 Si la relación ^,., pasara de positiva á negativa para un 



/l (x) ^ ^ 



valor que anule á /(«), si suponemos Í5<a, el número de 

 variaciones ganadas de x = oí á x = ^ será el que mide el 

 número de raíces reales de /(í»)=0 comprendidas entre a 



Podemos todavía eliminar la cuarta condición que pusi- 

 mos, y suponer que desde x=^aáx = ^se han perdido ó ga- 

 nado un cierto número r de variaciones en la serie (1); en- 

 tonces al variar x entre a y ,3, el número de variaciones se 

 alterará solamente cuando x pase por un valor que anula á 

 f{x), y por lo tanto á las r variaciones ganadas ó perdidas 

 corresponderán las /' raíces reales de la misma ecuación. 



Llamando pues M la diferencia entre el número de veces 



que la relación ^r— ^ se anula pasando de negativa á posi- 



tiva sobre el número de veces que pasa de positiva á nega- 

 tiva se tiene: 



M = ±r 



el signo -1- corresponde al caso de íi<a es decir cuando en 

 la serie de signos de las funciones (1) se ganan r varia- 



