TLOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 233 



ciones de a; = aá x = ^, y el signo — en el caso contrario. 

 Llamemos á su vez M' la diferencia entre el número de 



veces que la relación ^! se anula pasando de positiva á 



negativa y el que la misma anulándose pasa de nega- 

 tiva á positiva cuando x varia de a á (3. Gomo f{x) yf¿ (x) son 

 por hipótesis de signo contrario, cada vez que /i (x) se anula 



f (x) f (x) 

 las relaciones "^ '^ y ! , pasarán : la una de positiva á 



negativa y la otra de negativa á positiva; entonces la serie 

 de funciones: 



f,{x), f,{x), f,{x) ..., /„(»;), ■ (2) 



habrá ganado ó perdido un cierto número de variaciones 7^' 

 cuando x varíe de a á ¡3 y se tendrá; 



— M'=:±r'. 



Comparando ahora los valores de M y M', observaremos 

 que la serie (2) de funciones es la primitiva serie en que 



falta únicamente la primera f{x), y si la relación 4^-— • tiene 



/i \^} 



el mismo signo para í» = a y a; = ^, se tendrá; 



y por lo tanto; 



M' = — M; (3) 



pero si ^. tiene signo diferente por ejemplo + para a? = a 

 y — para x = ^, se tiene; 



r' = /' ± 1 , 



correspondiendo el signo superior cuando se ganan r va- 

 riaciones de a y p, y el inferior al caso en que se pierdan, y 

 entonces : 



M'=— Mfl; (4) 



