234 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



finalmente si la relación ^^r-^ tiene signo — para r/*=:a y -f 

 para a;=3 se tendrá : 



pero el signo superior corresponde al caso en que se pier- 

 dan r variaciones y el signo inferior cuando se ganen i^ va- 

 riaciones entre a y 3, y por lo tanto: 



M' = — M — 1. (5) 



En una palabra los valores de M' son tres (3), (4) y (5), 



según los signos que tome la relación ' cuando x varía 



/i (^) 



de a á 3- 



Cuando el número r de variaciones ganadas ó perdidas 

 es igual al grado ni de la ecuación /(a;) = 0, es claro que to- 

 das las raíces son reales, y esto corresponderá al caso en 



que la relación 4r-— se anule y pase siempre de negativa á 



positiva, ó bien siempre de positiva á negativa. El teorema 

 de Rolle podría aquí aplicarse á la ecuación fi{x), es decir 

 que entre cada dos raíces de f{x)=r=Q^ hay por lo menos una 

 de fi{x), ni más ni menos que si esta ecuación fuera la de- 

 rivada de/ (a?), y si la ecuación /i(a;) fuera del grado rn — 1, 

 tendría todas sus raíces iguales, y separarían las raíces de 

 f{x)=0. 



Serret hace la siguiente aplicación de estas propie- 

 dades : 



Sea la ecuación del grado 2/i : 



formando las derivadas sucesivas llegaremos á una es- 

 presion f^ix) que será la derivada enésima de /(a?) y cuyo 

 grado es w, por el teorema de Rolle se vé fácilmente que 

 el polinomio /„(«) tiene todas sus raíces reales, desiguales 

 y comprendidas entre — ly-fl- 



