TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 



El desarrollo de f{x) dá el siguiente resultado 



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■^^^^"1.2. ../?.2" 



X-" — -^ X-" + . . . 





y si formáramos la derivada enésima se tendrá 



fn{x) = 



2n(2;i — l)...(/i + l) 

 2.4.6. ..2/1 



X" 



, (2;i-2A-)(2/i-2/.--l)...(;¿+l-2/>:) ,, 

 ^^ •' (2.4...2A;)[2.4...(2/i — 2A-)] ^ 



(7) 



y A(a^) es un polinomio del grado ?i en x que no contiene 

 sino potencias de igual paridad. 

 Para ^1 = 1 se tendrá: 



Para n = 2 



f\{x)^x. 



t,(^x)=-x'-^ 



Ahora, si cambiamos n, en {ri — 2), se tiene 



/n-2(«) = 



í»"-2 — 



(2/¿— 4...(/z — 1) 

 2.4.6... (2/1 — 4) 



(2/1 — 2/c — 2)...(/2 + 1— 2A0 



^ ^^'' [2.4...(2/c— 2)][2.4l(2/i— 2A^-2)J''^ 



«-2A; 



(8) 



+ ... 



Si se multiplica la (7) por n, y la (8) por {n — 1) y se su- 

 man los resultados, se vé fácilmente que la suma sería el 

 desarrollo de/„_i(a;) multiplicado por el factor (2/z — i)x y 

 por lo tanto se puede escribir : 



nJ\{x) — {2n — í)x.J„_,{x)^{n — \)f,,_,{x) = 



(9) 



De este valor podemos deducir el de de/o(^), haciendo 



