TEOBEMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 241 



ecuaciones consecutivas están siempre ligadas por la re- 

 lación : 



V„ = z. V„_i — V,,_2. 



Esta misma relación nos dice que si una ecuación V„_i se 

 anula para un cierto valor de ^, las adyacentes son iguales 

 y de signos contrarios. Por lo tanto, si hacemos variar á z 

 entre dos valores a y p>a, la serie de signos de los polino- 

 mios V no perderá ni ganará variaciones sino cuando 2 

 pase por un valor que anule á Vix, y si la serie de signos 

 pierde ó gana r variaciones cuando z varía entre a y p, la 

 ecuación propuesta tendrá por lo menos r raíces reales 

 comprendidas entre a y p. 



Ahora bien hagamos variar á ^, en los polinomios V 

 dándole estos valores : 



^=—2, ^ = + 2, 

 y tendremos respectivamente: 



de modo que variando :s entre esos valores se pierden ^. va- 

 riaciones y por consiguiente las \h raíces de la ecuación V/. 

 son reales. 



Por lo tanto, para que todas las raíces de esa ecuación 

 sean reales es necesario que en la serie de signos se pierda 

 una variación, cada vez que z pasa entre — 2 y +2 por 

 una raíz, y esta variación se perderá en los dos primeros 

 términos de la serie, de modo que Y/a-i viene á ser con res- 

 pecto á V//., lo que era la derivada f^{x) con respecto ala 

 primera función de Sturm /(í») = 0; y por lo tanto las raíces 

 de V^-i = podrán servirnos para la separación de las raí- 

 ces de V/A=o, de acuerdo con el teorema de Rolle. 



Ahora, si a y 3 son dos números cualesquiera compren- 

 didos entre — 2 y -f-2, la ecuación propuesta tendrá tantas 

 raíces entre a y p como unidades hay en el exceso de varia- 

 ciones para 2=a y 2:=^. 



2° U^t = 0. —Las mismas consideraciones que acabamos 

 de hacer se aplican á la ecuación U/x=0 y á sus homo- 

 logas. 



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