TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 2-43 



Ó bien 



/; (x) = (x— a)"'-' (x — b)"-' [m {x — b).{x—c)...{x—l) 



+ n{x — a){x — c) . . . {x — 1) 

 + {x — a){x — b){x — d)...{x — /)+••• 

 -\-(x — a)(x — b){x — c) . . . (x — k)]. 



Pero si f{x)=zO tiene raíces comunes^ ella y fi(x) deben 

 tener un máximo común divisor, que es precisamente igual 

 al [producto de los factores binomios correspondientes á 

 las raíces múltiples, elevados respectivamente al grado de 

 multiplicidad disminuido en una unidad. Este máximo co- 

 mún divisor es : 



f^.(x) = (x—a)"'-'(x—by'-\ 



Pero aplicando á f(x) y á fi(x) el procedimiento directo del 

 m. c. d. obtendremos una serie de restos: 



los cuales serán también divisibles por fr{x), de modo que 

 efectuando esta división lo mismo que la de f{x) y fi{x) por 

 f,. (ce), obtendremos otros tantos cocientes que indicaremos 

 con la letra f afectada del índice s y del que le corresponde 

 en el orden de las funciones, y podemos escribir la serie : 



fs(a^), fis{x), hs{x), fzs{^), ..., (2) 



y debemos buscar las raíces reales distintas de f{x), que 

 son las de la ecuación : 



Veamos pues cómo á la serie (2) se puede aplicar el pro- 

 cedimiento de Sturm. Sustituyendo f{x) y f,.{x) en la ante- 

 rior por sus valores se tiene : 



, , ._ {x—ay'{x—bY{x—c) ... {x — l) 

 '' ^^^ ~ {x— a)"'-' {x — b)"-' 



