TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 245 



funciones de Sturm; en primer lugar la ecuación fs{x) no 

 tiene raíces iguales y además/s(a?)y/is(a;) son primos entre 

 sí pues no tienen factores comunes. Ahora lo que debe- 

 mos probar es que por cada valor de x que anula á fs{o¡) se 

 pierde una variación de signo en las funciones: 



/s\^)> Jis\^)y J2s\^)} •••• 



Dividiendo fu{x) por fs{x) se tiene : 



fisi^) ^ m n 1 , , 1 ^ m ^ . 



fe{x) X — a X — b X — ex — I X — a ^ 



designando con F la suma de los términos del 2° miem- 

 bro á partir del segundo. Podemos también poner : 



fu{^) _ in-{-¥{x — a) 



h{x) {x—a) ' ^'^ 



f (x) 

 El signo de la fracción -^y\ depende del valor de x, 



siendo positiva ó negativa según que os sea mayor ó menor 

 que a; dando pues á x los valores : 



x^(a — h) y íB = (a + h), 



siendo h suficientemente pequeña para que en el intervalo 

 de esos valores no haya ninguna raíz de fui^), tendremos 

 que las funciones: 



fis{a—h, fu{a)y y Ma + h), 



tienen igual signo. Ahora bien, para el primer valor se 

 tiene según el desarrollo de Taylor : 



fs{^)=fs{a-h)=Ma)-hf:(a)-{-^f:(a) + 



• • • • 



ó bien 



f3(a-/i)=-/?[/;(a)-i|/;" («) + ...]. 



