TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 255 



tendrán todas un mismo signo, y á la vez : 



Ma + h) y f{^ + h), 



deben tener también signos iguales. 



Llamando Í3 á la raíz inmediatamente mayor que a, de la 

 ecuación fix) = 0, y dando á x los valores (¡3 — h) y (¡3 + A) 

 siendo h tan pequeña como se quiera, tendremos que 

 /¡(í3 4-/i) y /(í3 — h) tienen signos diferentes; pero covíioJ{x) 

 conserva siempre el mismo signo entre (a + A) y (¡3 — h), 

 pues a y 3 son raíces consecutivas, resulta que /^{x) ha 

 cambiado entre « y 3 una vez de signo y en general un nú- 

 mero impar de veces; luego anulándose /(a?) para un cierto 

 valor dea? se pierde una variación de signo. 



Ahora veamos cómo si la función que se anula no es /(a?), 

 no se pierde ninguna variación. Sabemos ya que entredós 

 raíces reales y desiguales de/(«)=0 hay por lo menos una 

 raíz de la derivada /Ka?); entonces si entre a y p hay una 

 raíz a de esta última ecuación, dando á x los valores: 



x = a — h y x^a-\-h, 



siendo li tan pequeña como se quiera, es evidente que 

 f{a — h) Yf(oí-]-h) tienen el mismo signo desde que el valor 

 (a — /i) está comprendido entre a y ¡3, entre cuyos valores 

 no cambia/(aj). Por otra parte /i(») tiene también el mismo 

 signo para a? = a — /i que para £c = a + /i, pues solo cambia 

 cuando se anula y solo se anula para x = a. 



Pero dando ahora á a? el valor {a-\-h), se tiene que /(x) 

 conserva su signo mientras que la derivada cambia para 

 ese valor, y habría entonces una variación de signo; pero 

 anulándose /i (a?) para x==a, las funciones adyacentes son 

 iguales y de signos contrarios, luego la variación que antes 

 habíamos hallado ha desaparecido; luego aunque una fun- 

 ción que no sea f{x) se anule, no se altera el número de 

 variaciones. 



