TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 259 



algunos autores entre ellos Sanchez-Vidal atribuyen im- 

 propiamente á Lagrange; pero es de notar que el primero 

 de aquellos solo tiene aplicación en ciertos y determinados 

 casos, pues en otros no se puede estar cierto de que la se- 

 paración está hecha. Lo mismo sucede con el método de 

 Waringque aunque es el más exacto, presenta este doble 

 inconveniente : de ser á veces sumamente laborioso y que 

 se aplica con ventaja en la práctica tan solo hasta las ecua- 

 ciones del tercer grado. En los ejemplos siguientes pode- 

 mos aplicar estos métodos. 



Ejemplo. — Sea la ecuación : 



x'—2x^ + x~ — Q,x + 2 = 0. 



Por lo pronto podemos asegurar que esta ecuación no 

 tiene raíces reales negativas según la regla de los signos de 

 Descartes pues no presenta sino variaciones. 



Según la regla de Newton dos límites de las raíces reales 

 son O y 3, y sustituyendo en la ecuación propuesta los va- 

 lores comprendidos entre estos límites se tiene la serie de 



signos 



O, 1, 2, 3, 



+ , - - +, 



por lo tanto una raíz estará comprendida entre O y 1, y la 

 otra entre 2 y 3, números que respectivamente dan resul- 

 tado de signos contrarios; pero el grado de la ecuaciones 

 4 y puede muy bien tener todas sus raíces reales, entonces 

 no puede asegurarse que la separación esté del todo hecha. 

 Apliquemos pues el método de Sturm, y las funciones se- 

 rán : 



f{x)=x'~2x^-\-x^ — Q,x^2, 



/, (a;) = 4a?^ — 6 íc' + 2 a; — 6, 



/2(a;) = 4a?'' + 68aj — 20=:íeHl7í» — 5, 

 73(a;)=— 160aj+47, 



/4(í»)=-2049, 



y sustituyendo los valores íc= — oo y¿i? = -foo se obtiene la 



