TEOREMA DE STURM Y SUS APLICACIONES 269 



XIII 



EL TEOREMA DE STURM Y EL TEOREMA DE ROLLE 



El teorema de Rolle nos dice que : « entre dos raíces 

 reales desiguales y consecutivas de una ecuación /(a?) = O 

 se halla una y en general un número impar de raíces de la 

 derivada/i(í») ». La verdad de esta proposición la vemos 

 bien manifesta en la demostración del teorema de Sturm. 

 Si a y 6 son dos raíces reales consecutivas de f{x)=0 y si 

 /i(¿c) es su derivada, como estas dos funciones consecutivas 

 no pueden anularse para un mismo valor de .a?, /I (a) tendrá 

 un cierto signo diferente de f{a)', si damos á x los valores: 



x = a — h y x = a-\-h, 



siendo h tan pequeño como se quiera para que entre esos 

 valores no haya ninguna raíz de fi{oc), tenemos que : 



J,{a-h), J\{a) y h{a + h\ 



tienen las tres igual signo. Sabemos también que anulán- 

 dose fipc) para un cierto valor de oCj es cuando se pierde 

 una variación de signo, pues /i(a — h) debía tener signo 

 contrario á/(a — /¿); pero pasando del valor a, /"(¿c) cambia 

 inmediatamente de signo, y como/i(a + A) conservara el 

 mismo que tenía antes, se pierde aquí la variación de signo. 

 Tomando otro valor b que anule A f(x); podemos dar áx 

 los valores : 



x=b — h y x=^b-\-h, 



en circunstancias análogas á las anteriores, y entonces 

 /i(6 — h) deberá tener también signo contrario con f{b — h), 

 y copio /(¿í?) no ha variado de signo desde que pasó por el 

 valor a hasta uno inmediato al b, pues a y 6 son por hipó- 

 tesis raíces consecutivas, se sigue de que aunque antes se 

 perdió una variación de s\gno^Ji{¿c) ha cambiado de signo 



