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una vez por lo menos, y en general un número impar, es 

 decir que ha pasado por una raíz real ó en general por un 

 número impar de raíces comprendidas entre a y b. De es- 

 tas mismas consideraciones se deduce que si la ecuación 

 f{pc) = tenía todas sus raíces reales, su derivada/i(£c) tam- 

 bién las tendrá, pues entre cada dos raíces de las m que 

 contenga /(íc) habrá por lo menos una raíz real de aquella, 

 y entre todas serán {m — l)que es precisamente el grado de 

 la /i(ír)=0. 



De manera que conociendo las raíces reales de una ecua- 

 c\onf{x) podemos determinar las de su derivada primera, 

 tomando á esta como 1" función de Sturm, y sustituir en la 

 serie de funciones obtenidas, las raíces de/(a;)=0. 



Ejemplo. — Sea la ecuación del tercer grado : 



2ír^ — 9a;2 — lOa? — 16, 



cuyas raíces son — 2, 1.5 y 4, y vamos á determinar las de 

 su primera derivada. 



Las funciones de Sturm, tomando como primera función 

 á aquella derivada serán : 



f^{x) = Qx- — \^x — \0 = ^x~ — ^x—b, 

 f2(x) = í2x—9=4.x—3, 

 f,{x) = 281. 



Desde luego se vé que todas las raíces de/i(a?) son reales 

 pues todos los primeros términos de las funciones de 

 Sturm son positivos, y si sustuimos en ellas las raíces de 

 f(x) = se tiene : 



y asi/i(«) tendrá dos raíces reales, una comprendida entre 

 — 2 y 1.5 y la otra entre 1.5 y 4. 



