XOTA SOBRE LAS CÓXICAS 380 



Uiiainos <J 0011 Q y lí con P y obtendrcinos mi ininto de inter- 

 sección X,. 



Tendremos ([iic si una cónica inscripta en el tri;iii,i;ulii ül'(^), toca 

 á los lados OP y OQ en los puntos A y ^l y pasa por el punto X, ; 

 la cónica inscripta en el triánjiulo OPQ y (pie toque á los lados OÍ* 

 y OQ en los puntos B ' y X ' pasará por el punto X. 



En efecto : las inintuadas OAB P y OBA' P son proyectivas so- 

 brepuestas, puesto (pie (1) : 



O y l\ A y A y B y B ' 



son pares de inintos conjugados en involncion. de modo que serán 

 puntos corres]ioii(lieiites de estas dos puntnadas proyectivas (1): 



A y I!, y B y A 



Análogamente, las ]iuntiiadas OMX Q y OXM'Q son inoyectivas 

 sobrepuestas y serán laiiitns correspondientes: 



il y X, y X ' y ]\r 



De modo, pues, que simplcmoitc jior medio de i»royecciones ])ode- 

 iiios trasladar los puntos A y B y il y X' á ocu])ar las posiciones 

 de los ¡juntos B y A', y Xy^M' respeei¡\ amenté. \ por lo tanto, 

 la cónica inscripta en el triángulo OPQ que tiKpic li los lados OP 

 y OQ en los i)untos B ' y X ' y pase por el punto X, se transformará 

 en la cónica inscripta eu el triángulo OPQ, que toque á los lados OP 

 y OQ en los puntos A' y M' y pase ixu- el punto X,. 



3. Sean ahora dos cónicas C, y C, inscri])tasen el triángulo Ol'f^) : 



La C, tiene como ]iuntos de tangencia (J y li 

 La C, tiene como pantos de tangencia B' y X' 



X es un plinto de intersección de aiiilias. 



Se tendrá, pues, (ine si la O, es tangente en C ' y R ' y ]iasa ¡lor X. 

 habrá una C, tangente en A' yM' y ipu* ]iasará por X, ; y como 

 la C, es tangente en ¡i y X' y pa.sa por X, habrá una (\ tangente 

 en A ' y M ■ y que pa.saríi por X,. Pero entonces, pues, la C, y la C, 

 .serán una mkma cónica incripta al triángulo ()l'(¿ y (jue pasani jior 

 los puntos X, y X,. 



(1) Recordando el teorema fiin<laiiient¡il que «liee : /o» punloH iinidon (O y P rn 

 este caio) de don puntuadas proi/ectiras sobrepueataii, en las cuales A y H. y lí' y A' 

 sean puntos correspondientes, constituyen con los A y A' , y U y It'. uiin inroliición 

 de punto». 



