SOTA SUBRB LAS CÓNICAS 391 



pares de puntos o y el x de ac, /, e y, y t, 1/ .r estarán en involución. 

 inopiedad, i)ues, inherente á todo punto X de la hipi'ihola. 



5. Consideremos, en prinicr lujiar. el imli) de la linea ac, es deeir. 

 el punto en el infinito de la linea bd, y unámoslo eon A, y A., y ten- 

 dremos la interseeción de estas lineas con el eje ac (al cual evidente- 

 mente cortan normalmente), nos darán los i)untt)S .s- y *-, pero t, y s. 

 t^ y r y el » de ac y o están coujufradds armónicamente con los pun- 

 tos (( y c. puesto que las líneas 1x1, A, s y A, r son respectivamente 

 las polares del -c . de f, y de t„ de donde. i)ues o y el --c , de ac. t, 

 y s, f., y )• son jiares de ]iunl(is (•(injnüados en inrolnción, siéndolos 

 puntos dobles de esta involución los puntos (( y <■ : ile donde, pues, 

 el X de la línea bd está en la hipérbola, lo cual vale decir (lue la 

 línea bd es pai'alela á una asíntota, y ¡lor lo tanto, siendo ac también, 

 la hipérbola es equilátera. 



6. Consideremos el punto M y sean j> y q las intersecciones de las 

 líneas MA, y MA, con el eje ac. Siendo las líneas MAj y MA, nor- 

 males á la cónica y siendo A, í, y A, t, taufieutes, sabemos que los 

 puntos t^yq, y t,yp estarán conju,i>ados armónicamente C(m los 

 focos/, yj\; pero o y el x de ac también lo están, lucfio, pues, los 

 puntos : o y X de ac, t^ y 5, y í. y p, son pares de puntos conjugados 

 en involución, siendo puntos dobles de esta invohunón los focos/, 

 yf\, de modo. pues, que el punto M también estará sobre la hipér- 

 bola equilátera que pasa por A,. A, y el centi'o o de la cónica y cuyas 

 asíntotas serán paralelas á los ej<s de la cónica. 



Si hubiéramos considi-iado la normal MA, en luiiar de la MA^, 

 ])or ejemplo, habríamos llegado, evidentemente, :í una conclusión 

 análoga, es decir : que los puntos M, A,, A, y el centro O de la conira 

 estarán sobre una hi])érbola equilátera cuyas asíntotas serán para- 

 h'las á los ejes de dicha cónica. Pero por los i)untos M, O y A, no 

 puede pasar más que una sola liiix'-rbola equihitera, que tenga sus 

 asíntotas paralelas ;i los ejes de la cónica: Incud. pues, los puntos A,. 

 A, y A3 estarán sobre esta hipi-ibola. y aniilogaiiicnlc i-l pie A , de 

 la cuarta normal MA,. 



7. Podemos, pues, enunciar la siguiente projmsición : 



Si desde un punto P del plano de una cónica, tiramos á ésta sus cua- 

 tro normales, se tendrá que: los pies de las cuatro normales, el punto V 

 y el centro de la cónica estarán sobre una hipérbola equilátera cuyas 

 asíntotas serán paralelas á los ejes de la cónica. 



Aplicando el teorema ile Desargües al cuadrángulo detenniíiado 

 ]ior los jiiesde las cuatio normales, tendremos que ¡tor estar insciipto 



