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Lo que domina en todas ellas es la amplitud excepcional de las gene- 

 ralizaciones, al punto de que el gran número de deducciones que aque- 

 llas liacen ])osibles, deja el espíritu del lector como aturdido. Esta fué, 

 por otra parte, la característica esencial del genio de invención de 

 Poincaré y volveremos á encontrar de ella otras manifestaciones en 

 toda su producción científica. 



2" Análisis aplicado á la aritmética y álgebra. — Esta parte de la obra 

 matemática de Poincaré, comi)rende unas treinta memorias sobre: la 

 repreHentación de los números por las formas, los incariantes aritméticos, 

 los números complejos, una generalización de las fracciones continuas, 

 las formas cúbicas, ternarias y cuaternarias, las propiedades de las for- 

 mas cuadráticas, etc. 



Citaré primero la memoria titulada : sobre un modo nuevo de repre- 

 sentación (leométrica de las formas cuadráticas definidas ó indefinidas, en 

 que desarrolló una aritmética de las redes, consiguiendo con ella dar una 

 extensión geométrica muclio mayor y en una forma nueva y original, 

 á la teoría que hizo Gauss de la comijosición de las formas cuadráticas. 



La amplitud de los métodos exi)licados en la misma memoria, lo llevó 

 más adelante, á una generalización interesante del algoritmo de las 

 fracciones continuas. 



Poincaré dio también una teoría preciosa de los sistemas lineales 

 compuestos de un número infinito de ecuaciones con un uúmero infi- 

 nito de incógnitas y fué el primero en ocuparse de los determinantes 

 infinitos y de los criterios de convergencia correspondientes. Hay 

 que citar como notables sus trabajos sobre los invariantes aritméticos 

 que supo expresar con series é integrales y aplicar á la solución de 

 los problemas de equivalencia. 



Por último, en la parte de su obra dedicada á la aritmética, su 

 descubrimiento más maravilloso fué el de las funciones aritméticas 

 fuchsianas, que llamó así i>or analogía con sus funciones fuchsianas 

 analíticas. Con la consideración de los grupos lineales discontinuos 

 de substituciones que dejan invariable una forma cuadrática ternaria 

 indefinida, contribuyó á la teoría de las funciones automorfas. Cada 

 uno de estos gruj)os es isomorfo con un grwito fu chsi ano determinado; 

 las ftmciones aritméticas/«6'/i,S'iawfls que se refieren al grupo se distin- 

 guen en esto que tienen un teorema de adición, lo que no sucede con 

 las ñuic'ioneíi fuchsianas de orden general. Las relaciones múltiplas que 

 existen entre las funciones aritméticas fuchsianas han abierto á la 

 teoría de los números y al álgebra perspectivas nuevas sobre un campo 

 amplio antes inexplorado. 



