HENRI POINCARÉ 135 



varias paralelas á una recta dada, lo que equivale á la supresión del 

 tercer axioma de Euclides y la de Eiemann, si además queda suprimido 

 el primer axioma de que dos puntos determinaii una sola recta. Poincaré 

 funda su cuarta geometría sobre la modificación del teorema de Eucli- 

 des que dice : en un punto A de una recta AB siempre se puede trazar 

 una perpendiciilar á esta recta. La demostración de este teorema clásico 

 se liace considerando una recta AC móvil alrededor del ininto A y 

 primitivamente confundida con AB, que gira liasta que venga en la 

 prolongación de la primera. Se admiten así tácitamente dos proposi- 

 ciones : 1" que la rotación es posible; 2" que esta rotación puede seguir 

 hasta que las dos rectas se encuentren en la prolongación la una de la 

 otra. Ahora bien el gran geómetra supone que admitiéndose la primera 

 proposición se rechace la segunda, y esta hipótesis sencilla lo lleva á 

 una serie de teoremas más extraños aun que los de Lobatchewsky y 

 Riemann; el conjunto, sin embargo, forma una geometría muy cohe- 

 rente que es la cuarta geometría. Me contentaré con citar uno solo de 

 estos teorenms, que se enuncia como sigue : una recta real puede ser 

 perpendicular á sí misma. 



Valiéndose de una proposición de Sophus Lie, Poincaré demostró, 

 por otra parte, que el número de las geometrías que se pueden fundar 

 por procedimientos análogos es finito^ siempre que se suponga un espa- 

 cio de n dimensiones y la posibilidad del movimiento de una figura 

 invariable. 



Para terminar este rápido resumen, recordaré sus memorias siguien- 

 tes : sobre las curvas definidas por las ecuaciones diferenciales ; las trans- 

 formaciones birracionales de las curvas algebraicas ; las transformaciones 

 de las superficies en sí mismas ; las superficies de traslación y las funcio- 

 nes ahelianas ; la conexión de las superficies algebraicas i/ las líneas geo- 

 désicas de las superficies convcvas. 



Pero ya tengo que entrar en el estudio de la obra del ilustre mate- 

 mático considerada desde un punto de vista diferente, ó sea de sus 

 trabajos sobre la mecánica analítica y la mecánica celeste. 



4° Mecánica analítica y mecánica celeste. — En 1888, el rey de Suecia 

 Osear II, protector de las artes y ciencias, quiso señalar su día ono- 

 mástico por un concurso á un gran premio, abierto entre todos los 

 geómetras del mundo, con el tema de mecánica celeste siguiente : el 

 problema de los tres cuerpos y las ecuaciones de la dinámica. El argu- 

 mento era bien elegido como para dar lugar á un estudio muy profundo, 

 ya bosquejado por Laplace y tratado de un modo más extenso por sus 

 continuadores : el sol, la tierra y la luna obedecen á la atracción new- 



