» LOS AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA 9 



trarou inmediatamente a formar parte del caadal de los conocimien- 

 tos geométricoá. Fneron ampliamente discutidos y comentados, creán- 

 dose para la rama de las matemáticas que con ellos se formaba, la 

 palabra « Metageometría », análoga eu su primitivo significado a la 

 de « Metafísica». 



A partir de estas fechas, la nueva dirección impresa al estudio del 

 postulado de Euclides fué seguida por muchos geómetras, que encon- 

 traron en ella un medio para ampliar extraordinariamente los concep- 

 tos fundamentales de la geometría. Helmlioltz (1821-1894), Hoüel 

 (1823-1880), Kiemann (1826-1866), Beltrami (1835-1900), Klein (1849), 

 Poincaré (1854-1912) inmortalizaron su nombre con las investigacio- 

 nes que llevaron a cabo en este género de estudios, y el prodigioso 

 genio Sophus Lie (1842-1899) amplió aíín más, en el dominio analíti- 

 co, los resultados de sus predecesores. 



Dentro de estos estudios, se ha llegado a conceptos incomprensi- 

 bles antes con la vieja teoría geométrica, que no admitía más hipóte- 

 sis posible que la euclidea : tales son, para no citar más que un grupo 

 de ellos, los derivados de la « curvatura del espacio». 



Bien pronto el campo de estudio fué tan grande, qué hubo lugar 

 para subdivirse en escuelas y sistemas. Un conjunto notable de ma- 

 temáticos inició el estudio crítico, más bien dicho criteriolóyico, de 

 las nociones fundamentales del jnmto, la línea y la sioperjicie. Las 

 definiciones que de estos elementos existen, son todas incorrectas, 

 como es fácil verlo con un pequeño análisis, y las nociones a que res- 

 ponden estas ideas están, por su vaguedad y confusión, de perfecto 

 acuerdo con las definiciones que de ellos se hacen. La escuela moder- 

 na, a que debemos hoy el conocer algo más preciso sobre estos puntos 

 fundamentales de la geometría, fué iniciada por Grassmann, Verone- 

 se. Peano, Pieri y Enriques, los cuatro últimos italianos. Los traba- 

 jos de estos sabios se dirigieron principalmente a reducir las bases de 

 la geometría a un conjunto de axiomas lógicos, independizándola de 

 las definiciones. 



El matemático alemán doctor David Hilbert (Góttingen) reunió 

 todo en un admirable libro: Gnmdlagender Geometrie (1899). La se- 

 gunda edición de este libro se publicó en Leipzig en 190o, y la tercera 

 en 1909. Existe una traducción francesa de la primera edición ale- 

 mana i)or Laugel, publicada en París, 1900. 



Finalmente, tres matemáticos alemanes, Heinrich Weber, Joseph 

 Wellstein y Walter Jacobstahl, han desarrollado de mano maestra 

 este tema en el volumen II de su EncyTilopiklie der elementaren Geome- 



