LOS AXIOMAS UK LA GEOMETRÍA 



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De entro las muchas consecuencias que pueden deducirse de estos 

 axiomas, mencionaremos los siguientes : 



Teorema. — Entre dos puntos de una recta hay un número ilimi- 

 tado de puntos. 



Teorema. — Dados cuatro puntos sobre una recta siempre se po- 

 drán designar con las letras A, B, C y D, 

 de tal modo que B se encuentre entre A 

 y C, O entre A y D y también entre B y 

 D. Para demostrarlo habría que aplicar 

 los axiomas II, y II2. 



Teorema. — Dado un cierto número 

 limitado de puntos de una recta, siem- 

 pre se pueden designar de tal modo, con Fig. 4 

 las letras A, B, C, D ... K, que B se en- 

 cuentre entre A y los demás puntos; C entre A, B por una parte y D, 

 E, ..., K, por la otra, etc. La designación inversa, K, ..., D, C, B, A, go- 

 za de la misma propiedad, y estas dos son las únicas posibles. Este 

 teorema es una generalización del anterior. 



Teorema. — Si ABO no son colineales, cualquier recta que tiene 

 un punto F sobre el segmento AC y un punto Gr sobre el segmento 

 AB, no puede tener otro sobre el segmento BC. 



Teorema. — Cada recta a de un plano a, lo divide en dos regiones 

 tales que : cada punto A de una de ellas determina, con otro B de la 

 otra, un segmento AB en el cual hay un punto de a ; y por el contra 

 rio dos puntos A y A' de la misma región definen un segmento sin 



punto común con a. 



Para demostrar el teorema, se tomará 

 un punto C sobre a, y basándose en el 

 axioma IL, se establecerá la existencia 

 de puntos Q (flg. o) tales que C esté en- 

 tre A y Q : estos puntos Q correspon- 

 dientes a los varios C de la a forman una 

 de las regiones. Por el mismo axioma, 

 se establecerá la existencia de puntos 

 P tales que P esté entre A y C, o A en- 

 tre P y'C : estos puntos forman la otra región. 



Se aplicará luego el teorema anterior y el axioma II4 y se demos- 

 trará que los segmentos determinados por dos puntos P o por dos 

 puntos Q, no tienen puntos comunes con a^ pero en cambio sí los 

 segmentos determinados por un punto P y un punto Q. 



Fig. 5 



