LOS AXIOMAS DE LA GEOlVUíTRÍA 19 



Esta proposición es un veixladero teorema, aunque Euclides lo 

 incluyó entre los axiomas. 



Las definiciones de ángulo obtuso y agudo, se pueden establecer 

 de la manera conocida, después de haber demostrado la congruencia 

 de todos los ángulos rectos. 



La congruencia de los ángulos en la base de un triángulo isósceles, 

 resulta inmediatamente de aplicar el axioma III,; a los triángulos 

 cuando tienen sus tres lados respectivamente congruentes entre sí. 



Para extender estas nociones al espacio, definiremos una figura^ 

 como compuesto por un número cualquiera de puntos. Si todos los 

 puntos están en un jjlano, la figura se llamara plana ; en caso contra- 

 rio será una figura en el espacio. 



Dos figuras se llaman congruentes, cuando se pueden hacer corres- 

 ])onder los puntos dos a dos, de tal manera que los segmentos y los 

 ángulos correspondientes en las dos figuras sean respectivamente 

 congruentes entre sí. 



El teorema más general relativo a la congruencia para el plano y 

 para el espacio, se expresaría como sigue : 



Si (A, B, C, ...) y (A', B', C, ...) son figuras planas congruentes, y si 

 se designa por P un punto en el plano de la primera figura, se podrá 

 siempre determinar en el plano de la segunda figura un punto P', 

 tal que (A, B, C, ..., P) y (A', B', C, ..., P') sean igualmente figuras con- 



gruentes. Si la figura (A, B, C, ...) contiene por lo menos ^ ' í pun- 



' cuatro 1 



i 1 1 TI í^íí T^f^ot*! Á 



tos que no están en , , i la determinación de P' será posible 



{ un plano ' 



de una sola y única manera. 



Los teoremas de congruencia relativos al espacio encierran este re- 

 sultado importante : todas las verdades espaciales relativas a la con- 

 gruencia, son exclusivamente consecuencias de los dos primeros gru- 

 pos de axiomas y de los seis axiomas lineales y planarios de la con- 

 gruencia antes enunciados, y, por lo tanto, el axioma de las paralelas, 

 no es necesario para establecerlos. 



CUARTO GRUPO DE AXIOMAS : AXIOMA DE LAS PARALELAS 



Comprende un solo axioma, pero de la mayor importancia : es el 

 famoso axioma de las paralelas o postulado de Euclides ; lo enuncia- 

 remos en esta forma : 



