20 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



IV. Sea a una recta y A un j)unto fuera de ella. En el plano a ^ «A 

 existe una recta y una sola que puede pasar por A y no cortar a a. 

 Esta recta se llama la paralela trazada a <i por A. 



Este enunciado del axioma de las paralelas encierra dos afirmacio- 

 nes ; la primera es : en el plano y. pasa siempre por A una recta que 

 no encuentra a a ; la segunda : sólo puede existir una tal recta. Esta 

 segunda parte es esencial. 



Se puede enunciar esta afirmación del axioma en forma de teorema 

 del siguiente modo : 



Cuando en un plano, dos rectas a y b^ no encuentran una tercera 

 recta c^ del mismo plano, tampoco se encuentran entre sí. 



En efecto : si a y h tuviesen un punto comiín A, podría existir en 

 el plano dos rectas a j b que pasasen por A y no encontrasen a c, lo 

 que está en contradicción con el axioma de las paralelas en su enun- 

 ciado primitivo. 



Uniendo ahora el axioma de las paralelas a los de congruencia, po- 

 dríamos establecer las siguientes proposiciones conocidas : 



Cortando dos paralelas por una tercera recta, los ángulos altemos- 

 externos, alternos-internos, y corres])ondieiites, son respectivamente 

 congruentes ; y recíprocamente, la congruencia de los ángulos respec- 

 tivos citados, con las denominaciones anteriores, tiene por conse- 

 cuencia el paralelismo de las dos rectas. 



Los tres ángulos de un triángulo forman, en conjunto, dos ángulos 

 rectos. 



Si consideramos ahora un punto cualquiera M, de un plano x, el 

 conjunto de todos los puntos A, tales que los segmentos AM sean 

 congruentes entre sí, se llama un círcído; el punto M es el centro del 

 círculo. 



De esta definición y aplicando los axiomas de los grupos III y IV, 

 se deducen fácilmente todos los teoremas conocidos, relativos al cír- 

 culo, en particular aquel que se refiere a la posibilidad de hacer j)asar 

 un círculo por tres puntos no situados en línea recta, el de la con- 

 gruencia de los ángulos inscritos en el mismo segmento y el relativo 

 a los ángulos del cuadrilátero inscrii^tible (1). 



(1) Los-autores antiguos y algiiuos modernos dicen « circunferencia de círcu- 

 lo » o taaibiéu « circiinferencia » sin mayor especializacióu, pero es más breve y 

 claro llamar esa línea « círculo » como se llaman « elipse », « lemniscata », etc., 

 las líneas que forman la periferia de las superficies encerradas por aquéllas. 



