LOS AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA 21 



QUINTO GRUPO DE AXIOMAS : AXIOMAS DE CONTINUIDAD 



Este grupo contenía en los primeros trabajos de Hilbert, un solo 

 axioma, el de Arquímedes, o axioma de la medición. Posteriormente 

 reconoció la necesidad de añadir otro, llamado en alemán Vollstündig- 

 Jceit^ que puede traducirse por integridad ó plenitud. 



El axioma de Arquímedes permite introducir en la Geometría la 

 noción de continuidad. 



Antes de enunciarlo, debemos hacer una convención relativa a 

 la igualdad de dos segmentos sobre una recta ; para eso podemos 

 tomar por fundamento los axiomas sobre la congruencia de los seg- 

 mentos y llamar iguales a los segmentos congruentes o bien, basán- 

 donos en los tres primeros grupos de axiomas, convenir en la mane- 

 ra mediante la cual y por medio de construcciones apropiadas, un 

 segmento puede ser llevado sobre u]ia recta dada y a partir de un 

 punto dado, de modo que se obtenga un nuevo segmento que le sea 

 igual. 



Cualquiera de estas dos convenciones que hagamos, podremos des- 

 pués enunciar el axioma de Arquímedes de la siguiente manera : 



V,. Sea A, un punto cualquiera situado sobre una recta entre los 

 puntos dados A y B. Construyamos los puntos Aj, Aj, Ai, ..., tales que 

 Al esté situado entre A y A^ ; que A. esté entre Áj y A3 ; que A3 

 esté entre A. y A., ..., y así sucesivamente, y tales que los segmentos 



A-A-i, -A.1A.0, A2A.3, ii.3Í\.4, ... 



sean iguales entre sí ; entonces, en la serie de puntos Ao, A^, A4, ..., 

 existirá siempre un cierto punto A,¡, tal que B esté entre A„_ 1 y A,¡,. 



El axioma de Arquímedes es un axioma lineal. 



El axioma de integridad o plenitud puede enunciarse de la siguiente 

 manera : 



Vo. El conjunto de puntos, rectas y planos o elementos de la Geo- 

 metría, forma un sistema de cosas que no puede ser amplificado, siem- 

 pre que se quieran mantener los axiomas anteriores : es decir, que al 

 sistema así formado, es imposible agregar otras cosas tales que en el 

 sistema total resultante subsistan todos los axiomas citados en los 

 cuatro primeros grupos. 



El segundo de los axiomas de este gupo, se impone sólo en el caso 

 de admitirse el primero, pues si no se admite éste, es fácil concebir 



